Considere fixado um sistema de coordenadas em . Sejam e e as retas dadas pelas equações:

Se e são concorrentes, então é igual a:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu a equação paramétrica de duas retas, e , nos disse que elas são concorrentes e quer saber qual o valor do escalar , que aparece na equação da reta .

Lembra porque duas retas são chamadas concorrentes? Elas são chamadas assim porque possuem um ponto em comum. Mas pra ter um ponto em comum, elas precisam estar no mesmo plano, certo? Se elas estão no mesmo plano, elas são ditas coplanares. Mas como descobrir se as retas são coplanares ou não?

Aí a gente precisa lembrar do formato da equação paramétrica da reta, que é formada por um ponto conhecido e um vetor diretor , assim:

Nesse caso geral o parâmetro é , que representa um número real. Mas no caso da nossa questão, esse parâmetro é , para as duas equações da reta dadas. Assim, na reta do enunciado, temos o ponto e o vetor diretor . Na reta , temos o ponto e o vetor diretor .

Tá, mas o que isso tem a ver com as retas serem coplanares e concorrentes? Tem a ver porque para que as retas sejam coplanares, os vetores diretores de cada reta e um vetor formado por dois pontos (que no nosso caso seria o vetor , formado pelos pontos e ) precisam ser LD (linearmente dependentes) e eles serão LD se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Além disso, os vetores diretores das duas retas precisam ser LI (linearmente independentes), porque isso significa que elas não são paralelas e só podem ser concorrentes.

Então, o que nós vamos fazer pra encontrar é verificar essas condições de dependência e indepedência dos vetores que formam as retas, para que elas sejam concorrentes. Assim, vamos calcular o determinante de e igualar a zero para descobrir o valor de .

Vamos lá!