USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 12
Seja uma base ortonormal de e considere os vetores:
Se e é um triângulo em tal que e , então a área desse triângulo é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu um triângulo que é formado pelos vetores e e nós precisamos encontrar a área desse triângulo. Pra isso, eles nos disse que e , que e que .
Então, a gente já sabe que , falta descobrir quem é , calculando a projeção ortogonal de sobre . Tá, mas como a gente faz isso?
A gente já sabe que a projeção ortogonal pode ser calculada através da expressão:
No nosso caso, e , então temos:
A partir daí, vamos obter o vetor e calcular a área do triângulo usando a expressão:
Onde a gente vai calcular o módulo do produto vetorial entre os dois vetores que compõem o triângulo.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a projeção ortogonal que vai definir o vetor :
Fazendo o produto escalar entre os vetores no numerador:
Tirando o módulo do vetor no denominador, vamos calcular a raiz quadrada da soma de seus componentes ao quadrado:
Então, .
Passo 3
Substituindo o resultado que encontramos junto com na nossa fórmula de área, temos:
Colocando os escalares do lado de fora:
Agora, para calcular esse produto vetorial, precisamos calcular o determinante entre esses dois vetores. Assim:
Calculando o determinante:
Substituindo isso na equação da área:
Multiplicando os escalares:
Agora só falta tirar o módulo do vetor (calculando a raiz da soma dos seus componentes ao quadrado):
Portanto,
Que é a nossa alternativa (A).
Valeu, galera! Até a próxima! 😉