USP; Sem campus; Algebra Linear 1; P2; 2022; Questão 14
Considere fixado um sistema de coordenadas , em que é uma base ortonormal de e sejam os pontos dados por
Seja a reta que passa pelo ponto e é ortogonal tanto à reta que passa pelos pontos como à reta que passa pelos pontos . Assinale a alternativa correspondente a uma equação para r:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa parece ser difícil por conta do enunciado. Mas é bem tranquilinha. Vem comigo!
Bem nós queremos encontrar a reta , e para isso sabemos que ela passa pelo ponto . Mas temos mais informações disponíveis. Sabemos que a reta é ortogonal a duas outras retas, que são as retas que passam por e por . Mas ora, se é ortogonal a essas retas, então o vetor diretor de será ortogonal aos vetores diretores das outras retas. E juntando essa informação com o fato de passar por podemos escrever a equação da reta.
Passo 2
Vamos começar obtendo os vetores diretores das retas que passam por e por
Se uma reta passa por dois pontos, sua equação é dada por
Logo, a nossa primeira reta é
A nossa segunda reta é
Dessa forma, os vetores diretores são
e
Como falamos no passo 1, o vetor diretor de é ortogonal a esses dois vetores, logo ele será dado pelo produto vetorial.
que é igual a
Passo 3
Agora que sabemos que o vetor diretor da reta é . Vamos usar o fato que a reta passa pelo ponto e escrever sua equação. Juntando as duas informações, temos que
Temos que decidir se é a reta em (a) ou a reta em (e). Para isso, tomamos um ponto de , por exemplo, . O ponto não pertence à reta em (e), pois
não possui solução.
Por outro lado, o ponto pertence à reta em (a), pois
possui solução ().
Portanto a alternativa correta é a letra
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊