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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – P3 – 2016

Q15. Seja fixado um sistema de coordenadas ∑ = O , B no espaço, com B uma base ortonormal, e considere o elipsóide de equação:

3 x 2 + 3 y 2 + 2 x y + 3 z 2 + 2 x - 6 y + 12 z = 42

Assinale a alternativa contendo três vetores que sejam paralelos aos eixos de simetria desse elipsoide:

  1. 1,1 , 1 B ,   2 , - 1 , - 1 B   e   0,1 , - 1 B ;
  2. 1,2 , 0 B ,   2 , - 1,0 B   e   0,0 , 2 B ;
  3. 1 , - 1,0 B ,   1,1 , 0 B , 0,0 , 1 B ;
  4. 2,1 , 0 B ,   1 , - 2,0 B , 0,0 , 2 B ;
  5. 1,0 , 2 B ,   2,0 , - 1 B , 0,1 , 0 B ;

Passo 1

Falaaa... beleza??? Nessa questão vamos dizer em qual das alternativas contêm três vetores que sejam paralelos ao eixo de simetria desse elipsóide.

Pra isso vamos lembrar que podemos representar a equação:

f x , y , z = a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z

Podemos representar na forma matricial:

f x , y , z = x y z a d 2 e 2 d 2 b f 2 e 2 f 2 c x y z

E, diagonalizando essa matriz que encontramos com os coeficientes, também encontramos os autovetores e tá aí... eles serão os vetores paralelos aos eixos de simetria.

Passo 2

Como temos:

3 x 2 + 3 y 2 + 2 x y + 3 z 2 + 2 x - 6 y + 12 z = 42

Daí montamos na forma matricial:

x y z 3 1 0 1 3 0 0 0 3 x y z = 42

Calculando os autovalores:

p λ = 3 - λ 1 0 1 3 - λ 0 0 0 3 - λ = 0

3 - λ 3 - 3 - λ = 0

Encontramos:

λ = 2

λ = 3

λ = 4

Passo 3

Calculando os autovetores:

- para λ = 2 :

1 1 0 1 1 0 0 0 1 = 0 0 0

Achamos:

x + y = 0 → y = - x

z = 0

Então: x 1 , - 1,0 → s p a n 1 , - 1,0

- para λ = 3 :

0 1 0 1 0 0 0 0 0 = 0 0 0

Achamos:

x = 0

y = 0

z = z

Então: z 0,0 , 1 → s p a n 0,0 , 1

- para λ = 4 :

- 1 1 0 1 - 1 0 0 0 - 1 = 0 0 0

Achamos:

- x + y = 0 → y = x

z = 0

Então: x 1,1 , 0 → s p a n 1,1 , 0

Os autovetores são: 1 , - 1,0 , 0,0 , 1 , 1,1 , 0

Letra c

Resposta

Letra c

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