USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 3
Sejam , bases de e a matriz cujas colunas são , e . Se
E se é tal que e para certos , então é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu duas bases, e , e uma matriz . Aí ele nos disse que os vetores que compõem a base quando estão na base formam as colunas da matriz . Quê que isso nos lembra? Matriz de mudança base (ou de transformação linear), certo?
Isso porque essa matriz pega o vetor escrito nas coordenadas de uma base e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de outra base. A gente pode escrever isso assim:
Só que o enunciado disse que é igual a e que é igual ao vetor . Mas a gente quer saber o valor de . Então, pra encontrar o vetor a gente pode usar a matriz inversa de , porque dessa forma nossa equação fica assim:
E o que a gente tem é:
Então, vamos encontrar a matriz inversa de e depois fazer o produto dessa matriz resultante com o vetor pra encontrar o vetor e somar suas componentes. Uffa!
Vamos lá!
Passo 2
Galera, vamos começar encontrando a matriz inversa de . Pra isso, vamos reduzir a matriz à matriz identidade , usando operações por linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a para produzir . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de , de forma que teremos uma matriz na forma:
Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a ; essas operações converterão o lado direito a , de modo que a matriz final terá a forma:
Beleza, então vamos escrever:
Vamos começar as operações multiplicando a primeira linha por e subtraindo da segunda linha. Além disso, simultaneamente, vamos multiplicar a primeira linha por e subtrair da terceira linha:
Agora vamos multiplicar a segunda linha por e depois somar a terceira com a segunda linha:
Agora vamos multiplicar a terceira linha por e subtrair da segunda linha. E vamos multiplicar a terceira linha por e subtrair da primeira linha:
Só falta zerar um elemento, então vamos somar a primeira com a segunda linha e substituir o resultado na primeira:
Então, achamos nossa matriz inversa:
Passo 3
Agora, para encontrar , vamos fazer :
Usando as regras da multiplicação entre matrizes, vamos fazer o produto entre a matriz e o vetor da esquerda (multiplicando linha por coluna, lembra?):
Então, , e . Somando as três componentes:
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉