USP, Álgebra linear 1, Provas Antigas, P2, 2022, Questão 1
Sejam uma base ortonormal de e , vetores não nulos tais que
é paralelo a e é ortogonal a . Temos que é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu dois vetores e , que estão em uma base ortonomal , que pertence a um espaço vetorial . Ele nos disse, então, que o vetor é paralelo ao vetor na base , e que é ortogonal a . E nós precisamos encontrar o valor do produto escalar .
Não precisa ficar confuso que nem a Nazaré, vamos entender melhor o que é isso tudo.
Só pra gente relembrar, uma base ortonormal é uma base ortogonal (o produto interno entre os vetores da base é zero) e que o módulo dos vetores da base seja . Mas isso não vai interferir muito nos nossos cálculos agora.
Como o objetivo da questão é encontrar o produto escalar de com o vetor na base , mas nós não sabemos o valor de , a gente só sabe que ele é ortogonal a . E a gente sabe quem é ? Não, rs. Mas a gente sabe que é paralelo a , então é uma projeção de em . A gente pode escrever isso assim:
Dessa forma, o que nós precisamos fazer é construir uma transformação que projete o vetor dado em um espaço vetorial, ou seja, uma projeção ortogonal. Isso vai nos dá o valor de . Mas e para encontrar ?
Bom, a gente sabe que é ortogonal a (), então pela propriedade da projeção ortogonal vai ser igual ao vetor projetado, , menos . Ou seja:
Encontrando nós conseguimos definir o valor do produto escalar, , que a questão pede.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor do vetor através da projeção ortogonal:
Por definição, uma projeção ortogonal é dada por:
No nosso caso, e , então temos:
Fazendo o produto escalar no numerador (somando o produto de cada componente dos vetores), temos:
Tirando o módulo do vetor no denominador (fazendo ), temos:
Simplificando a fração, vamos ter:
Multiplicando o escalar pelo vetor:
Passo 3
Agora, para encontrar , podemos substituir na equação que nós definimos para lá no passo :
Lembrando que nessa equação. Então, temos:
Somando componente por componente, vamos obter:
Passo 4
Agora que sabemos quem é , podemos calcular o produto escalar :
Substituindo :
Agora basta somar o produto entre as componentes de cada vetor:
Que é a nossa alternativa (A).
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉