UFES. Álgebra Linear. Prova: P1 Manhã. 2017.2. Questão: 1.
Escreva como combinação linear dos vetores , e . Mostre que o conjunto gerado por , , , é igual ao conjunto gerado por , , .
Passo 1
Iae, meus queridos! Tudo certinho?
Muito bacana esse tipo de questão já que é muito comum de cair em provas de Álgebra Linear, então é importante aprender os conceitos e praticar muito.
Dito isso, bora lá!
Foi dado três vetores para nós, no caso, , e .
Com esses vetores, temos que calcular uma combinação linear entre eles que resultem em um vetor , onde
Passo 2
A grosso modo, para escrever uma combinação linear, temos que atribuir variáveis à nossa base e iguala-la ao nosso vetor resultante. Dessa forma
Vamos escrever de outro jeito para facilitar
Podemos escrever na forma de matriz para facilitar a visualização dos passos futuros.
Escalonando as matrizes, vamos encontrar a solução do problema
Encontramos a solução do nosso problema, voltando para o sistema de equações, temos.
Ou seja
Temos um sistema possível e indeterminado, então não possui uma única solução.
Passo 3
Para mostrar que o conjunto gerado , , e é igual ao conjunto gerado por , e , temos que mostrar que o vetor é linearmente dependente dos vetores (, e ).
Porém como calculamos anteriormente, vemos que pelo calculo anterior, o sistema contendo , , e é possível e indeterminado, portanto, sendo um sistema linearmente dependente, assim a base do conjunto , , e é igual a base do conjunto , e .
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
O conjunto , , e é LD