Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis
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UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Gabriela Coutinho - Lista 4, Questão 7g
Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).
g)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função , quando tende ao ponto . Repare que substituindo esse ponto na função, temos uma indeterminação do tipo .
Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação usando as coordenadas polares, na forma:
Substituindo essas expressões na função, conseguimos aplicar o limite para quando , que é equivalente a .
Vamos lá!
Passo 2
Substituindo e na função, temos:
Como nosso limite depende agora somente de , vamos colocar os termos constantes que dependem de do lado de fora:
Passo 3
Agora vamos analisar o seguinte, a função cosseno sempre é limitada no intervalo de a , ou seja:
Isso é válido pra qualquer ângulo, inclusive o nosso argumento :
Multiplicando todo mundo por , vamos ter:
E aplicando o limite pra quando :
Temos:
Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, nosso limite será:
Substituindo no resultado do passo , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉