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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ronie Peterson - Lista de Exercícios 3, Questão 2a

Calcule (ou mostre que não existe) o limite:

(a)

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 6 + y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 6 + y 2

Para isso, devemos analisar bem as duas variáveis envolvidas e prosseguir fazendo algumas manipulações algébricas.

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... manipulando a função, podemos fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ * r sin ⁡ θ r 4 cos 6 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ r 4 cos ⁡ θ * sin ⁡ θ r 2 r 4 cos 6 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ * sin ⁡ θ r 4 cos 6 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Substituindo o limite, encontramos:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ * sin ⁡ θ r 4 cos 6 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 0 2 cos ⁡ θ * sin ⁡ θ 0 4 cos 6 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ * sin ⁡ θ r 4 cos 6 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 6 + y 2 = 0

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Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )