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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1e

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

e) lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 2 0 2 + 3 0 y + 4 y 2 3 0 2 + 5 y 2

lim y → 0 ⁡ 4 y 2 5 y 2

lim y → 0 ⁡ 4 5 = 4 5

Agora vamos nos aproximar pela reta y = x ...

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x x + 4 x 2 3 x 2 + 5 x 2

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 x 2 + 4 x 2 3 x 2 + 5 x 2

lim x → 0 ⁡ 9 x 2 8 x 2

lim x → 0 ⁡ 9 8 = 9 8

Como os limites foram divergentes nas duas aproximações que fizemos, podemos afirmar que o limite de f x , y não existe!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Não existe!

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Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )