Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Gabriela Coutinho - Lista 4, Questão 7h

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

h)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função , quando tende ao ponto .

Como a gente tem uma função modular, dentro de um logaritmo, dentro de uma trigonométrica, existem várias pistas pra gente usar o Teorema do Confronto. Isso porque essas funções são limitadas e o teorema nos diz que se temos:

Então:

Isso significa que se o limite das extremidades forem iguais, a função limitada entre elas também vai ter o mesmo limite. Nós vamos tentar fazer isso com a nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Agora vamos analisar o seguinte, a função seno sempre é limitada no intervalo de a , ou seja:

Isso é válido pra qualquer ângulo, inclusive o nosso argumento :

Multiplicando todo mundo por , vamos ter:

Elevando ao quadrado:

E aplicando o limite pra quando :

Temos:

Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, nosso limite será:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y

Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )