Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis
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UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 2i
2 Calcule os limites abaixo.
(i)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema queremos obter o limite de para .
Parece de boa? 👀
O limite de uma função descreve a tendencia de imagem dessa função ao se aproximar de um ponto.
Nesse caso, como temos o limite de uma função de duas variáveis, podemos aplicar o método das curvas. Esse método consiste em substituir uma das variáveis por curvas que passam pelo ponto de estudo, assim resultando em um limite de ima variável.
Assim, se em duas curvas diferentes encontrarmos divergências no resultado do limite, é que o limite não existe.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
O limite é dado por
Vamos começar por uma reta que passa por esse ponto. No caso
Então substituímos por na função e calculamos o limite normalmente
No primeiro limite, substituindo por , vamos obter
No segundo limite ainda não podemos substituir por , pois assim iriamos cair em uma indeterminação , então vamos aplicar a regra de derivando o numerador e o denominador.
Substituindo por
Substituindo no limite do problema...
Entendeu como faz? 😉
Passo 3
Vamos nos aproximar agora pela curva
Substituindo por temos
Se substituirmos por agora vamos cair em outra indeterminação , então temos que aplicar novamente
Pela regra do produto, temos
Aplicando a regra da cadeia na derivada de , temos
Substituindo na derivada principal
Simplificando e voltando para
Substituindo no limite e derivando o denominador pelo método de derivação polinomial
Substituindo por
Como em ambas as curvas o resultado foi o mesmo, podemos dizer que esse é o resultado do limite (lembrando que quanto mais iterações fizermos, mais validade nosso resultado terá.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
