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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.2d

2.2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo:

d) lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 para x , y → 1,1 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Vamos começar com uma curva bem simples, x = 1

Substituindo x por 1 no limite, vamos obter

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 → lim 1 , y → 1,1 ⁡ 1 2 ln ⁡ 3 1 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 1 2

lim y → 1 ⁡ ln ⁡ 3 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 1

Fazendo y tender a 1 , temos

lim y → 1 ⁡ ln ⁡ 3 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 1 = ln ⁡ 3 + 1 2 arctan ⁡ 1 1 2 - 1

lim y → 1 ⁡ ln ⁡ 3 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 1 = ln ⁡ 4 arctan ⁡ 1 0

Como lim ⁡ 1 0 = ∞ e arctan ⁡ ∞ = π 2 , temos

lim y → 1 ⁡ ln ⁡ 3 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 1 = ln ⁡ 4 π 2

Agora se nos aproximarmos pela reta x = 2 - y , ou seja

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 → lim 2 - y , y → 1,1 ⁡ 2 - y 2 ln ⁡ 3 2 - y 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 2 - y 2

lim y → 1 ⁡ 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 3 4 - 4 y + y 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 4 - 4 y + y 2

lim y → 1 ⁡ 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 12 - 12 y + 12 y 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 4 + 4 y - y 2

lim y → 1 ⁡ 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 12 - 12 y + 1 3 y 2 arctan ⁡ 1 4 y - 4

Fazendo y = 1

lim y → 1 ⁡ 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 12 - 12 y + 13 y 2 arctan ⁡ 1 4 y - 4 = 4 - 4 1 + 1 2 ln ⁡ 12 - 12 1 + 13 1 2 arctan ⁡ 1 4 1 - 4

lim y → 1 ��� 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 12 - 12 y + 13 y 2 arctan ⁡ 1 4 y - 4 = ln ⁡ 13 arctan ⁡ 1 0

lim y → 1 ⁡ 4 - 4 y + y 2 ln ⁡ 12 - 12 y + 13 y 2 arctan ⁡ 1 4 y - 4 = ln ⁡ 13 π 2  

Nos aproximando pela reta x = 0 , encontramos que f x , y tende a ln ⁡ 4 π 2 , mas nos aproximando pela reta x = 2 - y , vemos que f x , y tende a ln ⁡ 13 π 2

Como encontramos resultados diferentes, podemos afirmar que o limite diverge, ou seja, não existe.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Não existe.

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