Utilize as coordenadas polares para calcular:

(b)

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Para isso, devemos analisar bem as duas variáveis envolvidas e prosseguir fazendo algumas manipulações algébricas usando as coordenadas polares

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... utilizando coordenadas polares, podemos fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 ⁡ r 2 ln ⁡ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 * lim r → 0 ⁡ ln ⁡ r 2 ∴

0 * lim r → 0 ⁡ ln ⁡ r 2 = 0

Obs: Como x 2 + y 2 = r 2 , quando x , y → ( 0,0 ) , r → 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = 0

Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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