Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 1 – P1 – Questão 2a

Calcule os seguintes limites, caso existir, justificando também se não existir

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Precisamos resolver esse limite aqui

Nosso instinto é substituir por não é? Então vamos fazer isso

Encontramos uma indeterminação!

Mas calma, sempre tem um truque sujo para aplicar e levantar essa indeterminação, e aqui não vai ser diferente!

Vem comigo que te mostro!

Passo 2

Em uma situação de indeterminação do tipo precisamos manipular a função até levantar a indeterminação

E como fazer isso? No caso de frações algébricas é fatorar! Isso mesmo, fatorando vamos encontrar fatores semelhantes em cima e embaixo, e assim simplificar! E é isso que vamos fazer!

Nosso limite:

Vamos trabalhar apenas a função que está dentro da raiz:

No numerador não há mais o que fatorar, mas e o denominador? Tem sim! E aqui vem o truque sujo!

Aqui é legal você ter na ponta da língua a soma e diferença entre cubos:

No nosso caso e ! Vamos usar então a regra da soma de cubos, mas anota da diferença porque vai que você acaba usando em outro limite, beleza?

Assim nosso denominador fica

E voltando para nossa função

Conseguimos simplificar!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora nossa missão é avaliar novamente o limite! Mas com a fração algébrica equivalente! Nosso limite era

Mas conseguimos simplificar

Agora vamos aplicar novamente o limite e simplificar ao máximo o resultado:

E é isso! Encontramos um valor finito agora!

Ufa! Terminamos! Bora para a próxima?

Resposta

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Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y

Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )