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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ronie Peterson - Lista de Exercícios 3, Questão 2g

Calcule (ou mostre que não existe) o limite:

(g)

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y sin ⁡ x - y x 2 + y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y sin ⁡ x - y x 2 + y 2

Para isso, devemos analisar bem as duas variáveis envolvidas e prosseguir fazendo algumas manipulações algébricas.

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... manipulando a função, podemos fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 �� r 3 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Passo 3

Substituindo o limite, encontramos:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ = 0 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ 0 * cos ⁡ θ - 0 * sin ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ r cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y sin ⁡ x - y x 2 + y 2 = 0

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Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )