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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.2c

2.2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo:

c) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Vamos começar com uma curva bem simples, x = 0

Substituindo x por 0 no limite, vamos obter

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 ln ⁡ 3 0 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - 0 2

lim y → 0 ⁡ 0 ln ⁡ y 2 arctan ⁡ 1 y 2

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos nos aproximar pela reta y = x

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + x 2 arctan ⁡ 1 x 2 - x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 4 x 2 arctan ⁡ 1 0

Fazendo x tendendo a 0 e sabendo que arctan ⁡ ∞ = π 2 então

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 4 x 2 arctan ⁡ 1 0 = 0 · ln ⁡ 0 · π 2

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 4 x 2 arctan ⁡ 1 0 = 0

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Por último, vamos tentar pela curva y = x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + x 2 2 arctan ⁡ 1 x 2 2 - x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + x 4 arctan ⁡ 1 x 4 - x 2

Aplicando x = 0 nesse limite...

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + x 4 arctan ⁡ 1 x 4 - x 2 = 0 · ln ⁡ 0 · arctan ⁡ ∞

lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + x 4 arctan ⁡ 1 x 4 - x 2 = 0

Como em todas as aproximações o resultado foi o mesmo, então podemos dizer que o limite de f x , y para x , y → 0,0 é igual a 0 .

Lembrando que quanto mais aproximações fizermos, melhor será a validade do nosso resultado.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctan ⁡ 1 y 2 - x 2 = 0

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )