Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 1512345678910111213141617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1m

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

m) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8  

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8   para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela curva mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8   → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 3 y 4 + 0 5 y 4 3 0 6 + y 8  

lim y → 0 ⁡ 0 0 + y 8  

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora se fizermos a aproximação através da curva y = x 3 4 ...

Podemos reescrever y 4 3 como y 3 y 3 e posteriormente y y 3 , ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y 4 + x 5 y y 3 x 6 + y 8   → lim y 4 3 , y → 0,0 ⁡ y 4 3 3 y 4 + y 4 3 5 y y 3 y 4 3 6 + y 8  

lim y → 0 ⁡ y 4 y 4 + y 4 3 5 y y 3 y 8 + y 8  

Para o termo y 4 3 5 y y 3 , temos

y 4 3 5 y y 3 = y 4 3 5   y y 3 = y 4 3 · 5   y y 3

y 4 3 5 y y 3 = y 20 3   y y 3 = y 20 3 + 1 y 3

y 4 3 5 y y 3 = y 2 3 3 y 1 3 = y 23 3 + 1 3

y 4 3 5 y y 3 = y 2 4 3 = y 8

Substituindo essa simplificação no limite, vamos obter

lim y → 0 ⁡ y 8 + y 8 2 y 8   = lim y → 0 ⁡ 2 y 8 2 y 8  

lim y → 0 ⁡ 1 = 1

Dessa forma, como verificamos que os resultados foram divergentes, podemos afirmar que o limite não existe!

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Não existe!

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )