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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1j

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

j) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 0 2 + y 2 sin ⁡ 0 y 0 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ 0 y 2 sin ⁡ 0 y

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora se fizermos a aproximação através da reta y = x , temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + x 2 sin ⁡ x x x 2 + x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 2 x 2 sin ⁡ x x 2 x 2

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ x x 2 x

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ x 2

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ x 2 = 1 2 sin ⁡ 0 = 0

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos nos aproximar através da curva y = x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + x 2 2 sin ⁡ x x 2 x 2 + x 2 2

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + x 4 sin ⁡ x x 2 x 2 + x 4

Simplificando...

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 1 + x 2 sin ⁡ x x 2 x 2 1 + x 2

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 sin ⁡ x x 2 x 1 + x 2

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 sin ⁡ x 2 1 + x 2

Aplicando o limite, vamos obter

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 sin ⁡ x 2 1 + x 2 = 1 1 + 0 2 sin ⁡ 0 2 1 + 0 2

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 2 sin ⁡ x 2 1 + x 2 = sin ⁡ 0 = 0

Assim, como todas as aproximações resultaram no mesmo resultado, então podemos dizer que o limite da função f x , y para x , y → 0,0 é igual a 0 .

Mas vale lembrar que quanto mais iterações fizermos, mais validade nosso resultado vai ter em caso do limite existente.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 sin ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )