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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1b

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

b) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 y cos ⁡ 0 2 + y 2 0 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ 0 y 2

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos nos aproximar pela reta y = x ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 → lim y , y → 0,0 ⁡ y 2 y cos ⁡ y 2 + y 2 y 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ y 3 cos ⁡ 2 y 2 2 y 2

lim y → 0 ⁡ y cos ⁡ 2 y 2 2 = 0

Tranquilo até aqui? Vamos continuar! 😉

Passo 3

Agora vamos nos aproximar pela curva y = x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 2 x 2 cos ⁡ x 2 + x 2 2 x 2 + x 2 2

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 + x 4 x 2 + x 4 → lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 + x 4 x 2 1 + x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + x 4 1 + x 2

Substituindo x = 0

lim x → 0 ⁡ 0 2 cos ⁡ 0 2 + 0 4 1 + 0 2

lim x → 0 ⁡ 0 1 = 0

Como todas as curvas culminaram para o mesmo limite, podemos dizer que o limite de f x , y é igual a 0 (lembrando que quanto mais curvas usarmos, mais validade terá nossa resposta).

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

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Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )