Utilize as coordenadas polares para calcular:

(a)

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Para isso, devemos analisar bem as duas variáveis envolvidas e prosseguir fazendo algumas manipulações algébricas usando as coordenadas polares

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... utilizando coordenadas polares, podemos fazer:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ * r sin ⁡ θ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Obs: Como x 2 + y 2 = r 2 , quando x , y → ( 0,0 ) , r → 0 .

Passo 3

Substituindo o limite, encontramos:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0 * cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados