Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 1712345678910111213141516181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 2e

2 Calcule os limites abaixo.

(e) lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular o limite de f x , y = 1 + x 1 + x y x para x , y → 0,2 .

Parece tranquilo? 🤔

Para resolver esse problema, vamos tentar manipular a função f x , y de modo que conseguimos simplificar esse limite...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função f x , y é dada por

f x , y = 1 + x 1 + x y x

Podemos separar e expoente fazendo 1 + x y x = 1 x + x y x , ou seja

f x , y = 1 + x 1 x + x y x

f x , y = 1 + x 1 x + y

Como a b + c = a b a c então

f x , y = 1 + x 1 x 1 + x y

Agora sim, aplicando o limite nessa nova função, vamos obter

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x → lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites...

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x · lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

Vamos começar pelo segundo limite dado por

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

Substituindo x = 0 e y = 2 , vamos obter

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y = 1 + 0 2 = 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora que vem o pulo do gato! Para o primeiro limite, não podemos usar o método convencional...

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x

Como não há y nessa função, podemos desconsiderá-lo

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x

O truque é dizer que esse limite é igual a z , já que na verdade esse limite vai resultar em uma tendencia na imagem z do espaço...

z = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x

Fazendo l n nos dois lados, temos

ln ⁡ z = ln ⁡ lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x 1 x

Como ln ⁡ a b = b ln ⁡ a , então

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ d ln ⁡ 1 + x d x d x d x

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 1 = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x

E finalmente, substituindo x = 0

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x = 1

Elevando os dois lados a e , chegamos em

e ln ⁡ z = e 1

z = e

Assim se z = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e , então

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e

Substituindo no problema, vamos chegar em

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x · lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e · 1

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )