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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1n

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

n) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3  

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela curva mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 3 1 - cos ⁡ 0 2 + y 2 0 2 + y 2 3  

lim y → 0 ⁡ 0 1 - cos ⁡ y 2 y 2 3  

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora se nos aproximarmos por y = x

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   → lim x , x → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + x 2 x 2 + x 2 3  

lim x → 0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ 2 x 2 2 x 2 3  

lim x → 0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ 2 x 2 8 x 6  

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 x 2 8 x 3  

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l para esse caso, derivando o numerador e o denominador, vamos obter

lim x → 0 ⁡ d 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x d 8 x 3   d x

Pela regra da cadeia, temos

d 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = d 1 d x - d cos ⁡ 2 x 2 d x = d 2 x 2 d x d cos ⁡ u d u

d 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 4 x - s e n u

d 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = - 4 x s e n 2 x 2

Já pelo método de derivação polinomial...

d 8 x 3   d x = 24 x 2

Tudo certo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ d 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x d 8 x 3   d x = lim x → 0 ⁡ - 4 x s e n 2 x 2 24 x 2

lim x → 0 ⁡ - 4 s e n 2 x 2 24 x

Ainda vamos cair em uma indeterminação, portanto vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente

lim x → 0 ⁡ d - 4 s e n 2 x 2 d x d 24 x d x

Pela regra da cadeia

d - 4 s e n 2 x 2 d x = - 4 d 2 x 2 d x d s e n u d u

d - 4 s e n 2 x 2 d x = - 4 4 x cos ⁡ u

d - 4 s e n 2 x 2 d x = - 16 x cos ⁡ 2 x 2

E pelo método de derivação polinomial...

d 24 x d x = 24

Ou seja

lim x → 0 ⁡ d - 4 s e n 2 x 2 d x d 24 x d x = lim x → 0 ⁡ - 16 x cos ⁡ 2 x 2 24

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ - 16 x cos ⁡ 2 x 2 24 = - 16 0 cos ⁡ 2 0 2 24

lim x → 0 ⁡ - 16 x cos ⁡ 2 x 2 24 = 0

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Por último, vamos aplicar uma outra curva mais simples...

y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   → lim x , 0 → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + 0 2 x 2 + 0 2 3  

lim x → 0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 x 2 3  

lim x → 0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 x 6  

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 2 x 3  

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l mais uma vez, temos

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 2 x 3   = lim x → 0 ⁡ d 1 - cos ⁡ x 2 d x d x 3 d x

Pela regra da cadeia

d 1 - cos ⁡ x 2 d x = d 1 d x - d cos ⁡ x 2 d x = d x 2 d x d cos ⁡ v d v

d 1 - cos ⁡ x 2 d x = 2 x - s e n v = - 2 x s e n x 2

d x 3 d x = 3 x 2

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ d 1 - cos ⁡ x 2 d x d x 3 d x → lim x → 0 ⁡ - 2 x s e n x 2 3 x 2

lim x → 0 ⁡ - 2 s e n x 2 3 x

Mais uma vez aplicando os mesmos métodos, vamos obter

d - 2 s e n x 2 d x = - 2 d x 2 d x d s e n v d v

d - 2 s e n x 2 d x = - 4 x cos ⁡ x 2

d 3 x d x = 3

Assim, nosso limite resulta em

lim x → 0 ⁡ - 2 s e n x 2 3 x → lim x → 0 ⁡ - 4 x cos ⁡ x 2 3

lim x → 0 ⁡ - 4 x cos ⁡ x 2 3 = - 4 0 cos ⁡ 0 2 3

lim x → 0 ⁡ - 4 x cos ⁡ x 2 3 = 0

Portanto, como todas as curvas convergiram para o mesmo resultado, podemos dizer que o limite da função f x , y para x , y → 0,0 é igual a 0 .

Vale ressaltar que quanto mais iterações com curvas distintas fizermos, mais validade terá nosso resultado.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3   = 0

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