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Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.1l

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

l) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + y 2 y 4 + sin ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 3 + sin ⁡ x 2 + y 2 y 4 + sin ⁡ x 2 + y 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela curva

y 2 = - x 2

Substituindo y 2 por - x 2 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + y 2 y 4 + sin ⁡ x 2 + y 2 → lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + y 2 y 2 y 2 + sin ⁡ x 2 + y 2

lim x , x → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + - x 2 - x 2 - x 2 + sin ⁡ x 2 + - x 2

lim x → 0 ⁡ x 3 + sin ⁡ 0 x 4 + sin ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ x 3 x 4

lim x → 0 ⁡ 1 x = ∞

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos nos aproximar pela curva y = x 4 ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + y 2 y 4 + sin ⁡ x 2 + y 2 → lim x , x 4 → 0,0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + x 4 2 x 4 4 + sin ⁡ x 2 + x 4 2

lim x → 0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + x x + sin ⁡ x 2 + x

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador, temos

lim x → 0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + x x + sin ⁡ x 2 + x → lim x → 0 ⁡ d x 3 + sin ⁡ x 2 + x d x d x + sin ⁡ x 2 + x d x

Na derivada de sin ⁡ x 2 + x vamos aplicar a regra da cadeia derivando a função de dentro e multiplicando pela derivada da função de fora...

d sin ⁡ x 2 + x d x = d x 2 + x d x d sin ⁡ u d u

d sin ⁡ x 2 + x d x = 2 x - 1 2 x cos ⁡ u

d sin ⁡ x 2 + x d x = 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x

Portanto, temos

d x 3 + sin ⁡ x 2 + x d x = 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x

d x + sin ⁡ x 2 + x d x = 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + x x + sin ⁡ x 2 + x → lim x → 0 ⁡ d x 3 + sin ⁡ x 2 + x d x d x + sin ⁡ x 2 + x d x

lim x → 0 ⁡ x 3 + sin ⁡ x 2 + x x + sin ⁡ x 2 + x → lim x → 0 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x

Está acompanhando até aqui? 😐

Passo 4

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x = 3 0 2 + 2 0 - 1 2 0 cos ⁡ 0 2 + 0 1 + 2 0 - 1 2 0 cos ⁡ 0 2 + 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x = - 1 0 cos ⁡ 0 1 + - 1 0 cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x 1 + 2 x - 1 2 x cos ⁡ x 2 + x = 0

Como encontramos dois valores distintos nas aproximações, podemos afirmar que o limite não existe!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Não existe!

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Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )