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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 3e

C a l c u l e   ∫ f ( x ,   y ,   z )   d s ,   o n d e

f ( x ,   y ,   z )   =   x .  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   y   =   x 2   c o m   z   =   x ,   0   ≤   x   ≤   1 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

sobre uma curva r ( t ) Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

com

f ( x ,   y ,   z )   =   x .  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   y   =   x 2   c o m   z   =   x ,   0   ≤   x   ≤   1 .

Vamos começar descobrindo a nossa r ( t )

pode não parecer, mas a nossa curva já está parametrizada. Temos

  y   =   x 2   c o m   z   =   x ,   0   ≤   x   ≤   1

Ou seja, a curva é

r ( x ) = ( x , x 2 , x )   c o m   0   ≤   x   ≤   1

Dessa forma, temos que

| r ' ( x ) | = ( 1 + 4 x 2 + 1 ) 1 / 2

= 4 x 2 + 2

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( x ) | = 4 x 2 + 2 , f ( x ,   y ,   z )   = x , e r ( x ) = ( x , x 2 , x )   c o m   0   ≤   x   ≤   1

então

∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = ∫ 0 1 x * 4 x 2 + 2 d x

Integrando temos:

= 1 12 ( 4 x 2 + 2 ) 3 / 2   | t = 1 t = 0

= 6 3 / 2 12 - 2 3 / 2 12

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

6 3 / 2 12 - 2 3 / 2 12

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