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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Uma parametrização da curva C obtida como interseção do plano

2 y + z = 0

Com a superfície definida por

z = x 2 + y 2 - 3

É:

  1. r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t + 1,2 + 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  2. r t = 2 sen ⁡ t - 1 , - 2 cos ⁡ t , 2 - 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  3. r t = 3 sen ⁡ t - 1 , 3 cos ⁡ t , 2 + 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  4. r t = - 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t + 1,2 + 5 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  5. r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1,2 - 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 1

Substituindo a equação da superfície na equação do plano, temos:

2 y + z = 0

2 y + x 2 + y 2 - 3 = 0

Passo 2

Completando quadrado em y :

y + 1 2 + x 2 - 3 = 1

Constantes de um lado e variáveis do outro:

y + 1 2 + x 2 = 4

E temos a equação de uma circunferência de raio 2 centro em ( 0 , - 1 ) .

Passo 3

A parametrização dessa circunferência é:

x t = 0 + 2 cos ⁡ t

y t = - 1 + 2 sen ⁡ t

t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 4

Mas essa era só a projeção da curva de interseção no plano x y . Nossa curva real está no espaço. Então ainda falta a gente parametrizar a coordenada z dela.

Pra isso, é só substituir a parametrização de x ( t ) e y ( t ) na variável z .

Mas antes, vamos isolar a variável z na equação do plano porque vai ser mais fácil pra fazer as substituições, já que tudo tá com grau 1, beleza?

2 y + z = 0

z = - 2 y

Agora, substituindo y t :

z t = - 2 ( - 1 + 2 sen ⁡ t )

z t = - 4 sen ⁡ t + 2

Passo 5

E pra fechar, a parametrização da nossa curva de interseção fica:

x t = 2 cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t - 1

z t = - 4 sen ⁡ t + 2

t ∈ [ 0,2 π ]

Resposta

L e t r a   e

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