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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Exercício 41235678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849

Enunciado

Determine a parametrização da curva de interseção entre as duas superfícies abaixo.

S 1 : 3 x 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

S 2 : x = z 2 - y + 4

Passo 1

Primeiro devemos isolar alguma variável em alguma das superfícies, vamos pegar o x da segunda curva marotamente porque já está isolado.

x = z 2 - y + 4

Substituindo na equação da S 1

3 x 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

3 z 2 - y + 4 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

3 z 2 - y + 4 + 5 z 2 - 3 y = 0

8 z 2 - 6 y + 12 = 0

Passo 2

Temos uma parábola né? Então temos aquele macetinho aqui.

O y está elevado a 1 , quando isso acontecer pega a outra letra e chama ela de t , assim oh

z t = t

Pela equação que achamos

8 t 2 - 6 y + 12 = 0

6 y = 8 t 2 + 12

y = 4 t 2 3 + 2

Vulgo

y t = 4 t 2 3 + 2

Passo 3

Agora voltando para o x

x t = t 2 - 4 t 2 3 + 2 + 4 = t 2 - 4 t 2 3 + 2 = - t 2 3 + 2 =

A parametrização é

σ t = - t 2 3 + 2 , 4 t 2 3 + 2 , t

LIIIINDO... só que não rs, lembre-se Beleza não põe mesa

Resposta

σ t = - t 2 3 + 2 , 4 t 2 3 + 2 , t

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