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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 5

Calcule a massa da curva

r ( t )   =   ( e t c o s t ,   e t s e n   t ,   e t ) ,   0   ≤   t   ≤   1 ,

sabendo que a densidade em cada ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a massa da curva

r ( t )   =   ( e t c o s t ,   e t s e n   t ,   e t ) ,   0   ≤   t   ≤   1 ,

sabendo que sua densidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ ρ ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ ρ ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Agora, qual é a densidade da curva? Ora o enunciado diz que é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Ou seja, em forma de equação, obtemos que

ρ ( x ,   y ,   z ) = 1 x 2 + y 2 + z 2

Vamos calcular | r ' ( t ) | . Como

r ( t )   =   ( e t c o s t ,   e t s e n   t ,   e t ) ,   0   ≤   t   ≤   1 ,

Logo

| r ' ( t ) | = ( e 2 t ( 2 c o s 2 t + 2 s i n 2 t + 1 ) ) 1 / 2

= 3 e t

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( t ) | = 3 e t , ρ ( x ,   y ,   z ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , e r ( t )   =   ( e t c o s t ,   e t s e n   t ,   e t ) ,   0   ≤   t   ≤   1 ,

então

∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = 3 ∫ 0 1 1 2 e 2 t e t d t

= 3 ∫ 0 1 e - t / 2 d t

Integrando temos:

= - 3 2 e - t | t = 1 t = 0

= 3 2 - 3 2 e

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

3 2 - 3 2 e

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