Encontre a parametrização da curva obtida pela interseção do hiperbolóide de uma folha e o plano .
Passo 1
Nosso objetivo é parametrizar uma curva, mas ela ainda não apareceu. Vamos descobrir que curva é essa?
Para fazer uma interseção basta isolar uma variável que as duas equações tenham em comum, e depois igualar os dois resultados. Vamos isolar o ?
Na primeira equação temos:
isolando o ...
Na segunda equação temos:
isolando o ...
Passo 2
Agora que temos o devidamente isolado, podemos igualar uma equação à outra!
Igualando o lado direito das duas, temos....
Pronto conseguimos a equação de nossa interseção!
Passo 3
Agora é a parte mais trabalhosa, mas a parte boa é que é so trabalhdo braçal! Vamos ter que isolar novamente uma das variáveis, e então poderemos parametrizar a curva. Vamos isolar a variável ?
elevando ao quadrado fica....
Deixando só o do lado esquerdo....
Desenvolvendo só mais um pouquinho....
Perfeito!! Isolamos o !
Passo 4
Finalmente! Só falta fazer a parametrização! Agora que temos o isolado, podemos falar que e deixar tudo em função deste parâmetro. Vamos lá:
fazendo que ...
Como , temos também que
Prontinho! Temos todas as variáveis em função de ! Agora basta colocar na forma parametrizada!
Resposta
Nossa função parametrizada fica: