UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV1 - 2022.1, Questão 1
Encontre uma parametrização para curva dada pela intersecção do cilindro e do plano . Além disso, encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho contigo?
O enunciado quer que achemos uma parametrização para a curva que é obtida quando fazemos a intersecção do cilindro
com o plano dado por
Depois disso, iremos ter que encontrar a reta tangente a esta curva avaliada no ponto . Okay, a primeira coisa que faremos é fazer a intersecção do cilindro com a curva e encontrar uma parametrização da forma
Tendo isso em mãos, vamos utilizar a equação da reta paramétrica
em que é um ponto que pertence a reta, e são os coeficientes de inclinação da reta tangente, vamos obter isso derivando e avaliando no ponto . Com tudo isso em mãos! Bora lá!
Passo 2
Para fazer a intersecção do plano com o cilindro, vamos usar a equação do plano para isolar em termos de , temos que
nos deixa escrever
Substituindo este resultado na equação do cilindro, temos que
intercepta o plano em
Reescrevendo um pouco a expressão acima, temos que
Essa é a equação de uma elipse que tem centro no ponto . Você lembra como parametrizar? Vem comigo!
Passo 3
Uma elipse no plano pode ser parametrizada como
em que, os parâmetros acima podem ser identificados pela relação
podemos então identificar que e , assim como e , de forma que a nossa parametrização é
Vamos utilizar isso para calcular a nossa reta tangente! Vamos lá!
Passo 4
A equação paramétrica precisa dos coeficientes , eles são obtidos derivando a equação paramétrica da elipse e avaliando no ponto desejado , temos derivando a equação da elipse, que
Temos os seguintes resultados que podem ser utilizados
assim como, temos que
e como a derivada de é , temos que a derivada da equação parametrizada da elipse é
Vamos trabalhar agora em achar os coeficientes! Saca só!
Passo 5
Precisamos achar o valor de para o qual
Ou seja, o valor de no qual tenhamos
e
Dividindo as duas equações uma pela outra, obtemos a seguinte expressão
ou seja, precisamos de , tal que
Ou seja, temos que
E, finalmente, os coeficientes da reta tangente, são
Ou, simplesmente, temos que
Vamos escrever a equação da nossa reta tangente!
Passo 6
Lembrando aqui a equação paramétrica da reta, temos
o ponto que pertence a reta é e temos também que os coeficientes são , temos então que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
A parametrização da curva é e a reta tangente é