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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 3d

C a l c u l e   ∫ f ( x ,   y ,   z )   d s ,   o n d e

f ( x ,   y ,   z )   =   x y z  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   x 2 + y 2 + z 2   =   R 2 e   4 ( x 2 + y 2 )   = R 2 ,   R   >   0 .

s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

sobre uma curva r ( t ) Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

com

f ( x ,   y ,   z )   =   x y z  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   x 2 + y 2 + z 2   =   R 2 e   4 ( x 2 + y 2 )   = R 2 ,   R   >   0 .

s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e

Vamos começar descobrindo a nossa r ( t )

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2 e   4 ( x 2   +   y 2 )   =   R 2 ,   R   >   0 .

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

  4 ( x 2   +   y 2 )   =   R 2

x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2

Como podemos fazer essa interseção? Nesse caso, fica mais fácil parametrizamos primeiro. Note que a primeira equação é de uma circunferência. Parametrizando ela temos:

x = R / 2   *   c o s   t

y = R / 2   * s i n   t

c o m   0 ≤ t ≤ π / 2

pois

e s t á   s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e

Substituindo esses valores na segunda equação, temos que

x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2

⇒ R 2 / 4 + z 2 = R 2

Logo

z = 3 R / 2

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa curva parametrizada é dada por

( R / 2 * c o s   t , R / 2 * s i n   t , 3 R / 2 ) c o m   0 ≤ t ≤ π / 2

Agora, vamos calcular | r ' ( t ) |

| r ' ( z ) | = R 2 7

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( t ) | = R 2 7 , f ( x ,   y ,   z )   = x y z , e r ( t ) = ( R / 2 * c o s   t , R / 2 * s i n   t , ± 3 R / 2 ) c o m   0 ≤ t ≤ π / 2

então

∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = ∫ 0 π / 2 R 3 s i n ( t ) c o s ( t ) 3 2 R 2 7 d t

= R 4 21 4 ∫ 0 π / 2 s i n ( t ) c o s ( t ) d t

Integrando temos:

= - R 4 21 8 c o s 2 ( t ) | t = π / 2 t = 0

= R 4 21 8

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

R 4 21 8

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