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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Exercício 34123456789101112131415161718192021222324252627282930313233353637383940414243444546474849

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 3c

C a l c u l e   ∫ f ( x ,   y ,   z )   d s ,   o n d e

f ( x ,   y ,   z )   =   y ( x   +   z )  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   x 2   +   y 2   +   z 2   =   9 ,   c o m   y   ≥   0 ,   e   x   +   z   =   3

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

sobre uma curva r ( t ) Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

com

f ( x ,   y ,   z )   =   y ( x   +   z )  

r ( t )   é   d a d a   p e l a   i n t e r s e ç ã o   d e   x 2   + �� y 2   +   z 2   =   9 ,   c o m   y   ≥   0 ,   e   x   +   z   =   3

Vamos começar descobrindo a nossa r ( t )

  x 2   +   y 2   +   z 2   =   9

c o m   y   ≥   0 ,   e   x   +   z   =   3

da segunda equação, temos:

x = 3 - z

substituindo na primeira equação

  ( 3 - z ) 2   +   y 2   +   z 2   =   9

⇒ y = - 2 z 2 + 6 z

Mas precisamos que

- 2 z 2 + 6 z seja positivo. Então:

- 2 z 2 + 6 z ≥ 0

⇒ 0 ≤ z ≤ 3

Dessa forma a nossa curva é:

r ( z )   =   ( 3 - z , - 2 z 2 + 6 z , z )   c o m   0 ≤ z ≤ 3  

Agora, vamos calcular | r ' ( z ) |

| r ' ( z ) | = ( 1 + ( 6 - 4 z 2 - 2 z 2 + 6 z ) 2 + 1 ) 1 / 2

= 9 6 t - 2 z 2

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( t ) | = 9 6 t - 2 z 2 , f ( x ,   y ,   z )   =   y ( x   +   z ) , e r ( t ) = ( 3 - z , - 2 z 2 + 6 z , z )

então

∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = ∫ 0 3 3 - 2 z 2 + 6 z * 9 6 t - 2 z 2 d t

= ∫ 0 3 9 d t

Integrando temos:

= 27

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

27

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