Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

Ver Teoria
Exercício 27123456789101112131415161718192021222324252628293031323334353637383940414243444546474849

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 4

Um arame tem a forma da interseção de

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2   −   2 x   −   2 y     c o m   z   −   y   =   1 .

Calcule a massa do arame sabendo que sua densidade é dada por

ρ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a massa do arame sabendo que sua densidade é dada por

ρ ( x ,   y ,   z )   =   x 2 .

e que

arame tem a forma da interseção de

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2   −   2 x   −   2 y     c o m   z   −   y   =   1 .

Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ ρ ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ ρ ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

arame tem a forma da interseção de

x 2   +   y 2   +   z 2   =   2   −   2 x   −   2 y     c o m   z   −   y   =   1 .

Vamos começar descobrindo a nossa r ( t )

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   +   z 2   =   2   −   2 x   −   2 y     c o m   z   −   y   =   1 . .

Para Isso, vamos fazer as seguinte parametrização

x = 2 c o s t - 1

y = 2 s i n t - 1

Dessa forma, temos que

z = 2 s i n t

Dessa forma, ambas as equações serão satisfeitas para qualquer

0 ≤ t ≤ 2 π

Então, a nossa curva parametrizada é:

r ( t ) = ( 2 c o s t - 1 ,   2 s i n t - 1 ,   2 s i n t )

Logo

| r ' ( t ) | = ( 4 s i n 2 t +   2 c o s 2 t   + 2 c o s 2 t ) 1 / 2

= 2

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( t ) | = 2 , f ρ ( x ,   y ,   z )   = x 2 , e   r ( t ) = ( 2 c o s t - 1 ,   2 s i n t - 1 ,   2 s i n t )

então

∫ ρ ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = 2 ∫ 0 2 π ( 2 c o s t - 1 ) 2 d t

= 2 ∫ 0 2 π 4 c o s 2 ( t ) + 4 c o s ( t ) + 1 d t

Integrando temos:

= 2 ( 2 t + 2 s i n ( t ) c o s ( t ) + t ) | t = 2 π t = 0

= 12 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

12 π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre equações paramétricas para o círculo x 2 + y 2 = a 2 utilizando como parâmetro o comprimento de arco s medido em sentido anti-horário a partir do ponto ( a , 0 ) até o ponto ( x , y ) .