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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Uma parametrização da curva obtida pela interseção do semi-cone

z = x 2 + y 2

Com o plano

z = 1 + y

É:

a   r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

b r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t +   1 ,     sen ⁡ t + 2 ,   t ∈ 0,2 π

c r t = t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1 ,   t ∈ R

d r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t -   1 ,   sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

e r t = 1 + t 2 ,   t 2 ,   t 2 + 1 ,   t ∈ R

Passo 1

Vamos achar a curva de interseção dessas duas superfícies aí.

Primeiro devemos isolar alguma variável em alguma das superfícies, vamos pegar o z da segunda curva marotamente porque já está isolado.

z = 1 + y

Substituindo na equação do semi-cone

1 + y = x 2 + y 2

1 + y 2 = x 2 + y 2

1 + 2 y + y 2 = x 2 + y 2

x 2 - 2 y - 1 = 0

Passo 2

Temos uma parábola né? Então temos aquele macetinho aqui.

O y está elevado a 1 , quando isso acontecer pega a outra letra e chama ela de t , assim oh

x t = t

Pela equação que achamos

t 2 - 2 y - 1 = 0

y = t 2 - 1 2

Vulgo

y t = t 2 - 1 2

Passo 3

Agora voltando para o z

z t = 1 + t 2 - 1 2 = t 2 + 1 2

A parametrização é

σ t = t , t 2 - 1 2 , t 2 + 1 2

E, se colocarmos o 1 2 em evidencia na segunda e terceira componente, teremos exatamente o que diz na letra c .

Resposta

L e t r a   c

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