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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 3b

C a l c u l e   ∫ f ( x ,   y ,   z )   d s ,   o n d e

f ( x ,   y ,   z )   =   x   +   y   +   z   e   r ( t )   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   ( 1,2 , 3 )   a   ( 0 , - 1,1 ) . .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

sobre uma curva r ( t ) Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

com

f ( x ,   y ,   z )   =   x   +   y   +   z   e   r ( t )   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   ( 1,2 , 3 )   a   ( 0 , - 1,1 ) . .

Então, vamos obter a parametrização do nosso segmento de reta. Um segmento de reta entre dois pontos a , b é dado por:

( b - a ) t + a ,   c o m   0 ≤ t ≤ 1

Dessa forma,

r ( t )   =   ( - 1 , - 3 , - 2 ) t + ( 1,2 , 3 )

= ( - t + 1 , - 3 t + 2 , - 2 t + 3 )

Agora, vamos calcular | r ' ( t ) |

| r ' ( t ) | = ( 1 + 3 2 + 2 2 ) 1 / 2

= 14

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como | r ' ( t ) | = 14 , , f ( x ,   y ,   z )   =   x   +   y   +   z , e r ( t ) = ( - t + 1 , - 3 t + 2 , - 2 t + 3 )

então

∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = 14 ∫ 0 1 - t + 1 - 3 t + 2 - 2 t + 3 d t

= 14 ∫ 0 1 - 6 t   + 6 d t

Integrando temos:

14 ( - 3 t 2 + 6 t )   | t = 1 t = 0 = 3 14

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

3 14

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