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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

Passo 1

b )

A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície S 1 não tem o valor de x , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é um cilindro elíptico

4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

4 y - 2 2 4 + 3 z - 1 2 4 = 1

y - 2 2 + z - 1 2 4 / 3 = 1

Lembra como é a parametrização da elipse?

y t = y 0 + a cos ⁡ t

z t = z 0 + b sen ⁡ t

Então, para esse caso

y t = 2 + cos ⁡ t

z t = 1 + 4 3 sen ⁡ t = 1 + 2 3 sen ⁡ t

Como ele faz a volta completa

t ∈ 0,2 π

Mas e agora como parametrizamos o valor de x ? Vamos usar a outra equação.

Passo 2

Primeiro temos que isolar o x na segunda superfícies

x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 = 3 y z + z 4 + 3

x 3 = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1

x = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1 3

Ok, agora temos uma expressão de x dependendo só de y e z , o que temos que fazer agora é trocar os valores de y e z da parametrização que fizemos ali em cima.

x t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3

Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.

A parametrização vai ficar

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com

t ∈ 0,2 π

Resposta

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com

t ∈ 0 , 2 π

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