Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f(x, y) = 2 * x^2 + y^2 e g(x, y) = 5 - 2*x^2 - 2*y^2 + 8*x + 6*y , em que (x, y) ∈ R^2 , é dada por

γ(t) = a + b * cos(t), c + d * sen(t), z(t), t ∈ [0, 2*pi]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, (a + b) / (c + d) é igual a

a) (1 + raiz(3)) / 3 .

b) 3 / (1 + raiz(3)) .

c) 3 / (2 + raiz(6)) .

d) (2 + raiz(6)) / 3 .

e) 3 / (2 + raiz(3)) .

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais um problema?

Nesse exercício forneceram para gente duas funções f e g cujos gráficos são superfícies. A intersecção dessas superfícies é uma curva γ t = x t ,   y t ,   z t do tipo

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Queremos achar as constante a , b , c e d .

Temos que

f x ,   y = 2 x 2 + y 2

g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y

Para achar a intersecção das superfícies, igualamos:

f x ,   y = g ( x ,   y )

Assim,

2 x 2 + y 2 = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y

Portanto,

4 x 2 - 8 x + 3 y 2 - 6 y = 5

Passo 2

Precisamos completar quadrados:

4 x 2 - 8 x = 4 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 4 x - 1 2 - 4

3 y 2 - 6 y = 3 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 3 y - 1 2 - 3

Portanto,

4 x 2 - 8 x + 3 y 2 - 6 y = 5 ⇒ 4 x - 1 2 - 4 + 3 y - 1 2 - 3 = 5

Assim,

4 x - 1 2 + 3 y - 1 2 = 12

Dividindo ambos os lados por 12 :

x - 1 2 3 + y - 1 2 4 = 1

Ou ainda,

x - 1 3 2 + y - 1 2 2 = 1

Passo 3

Lembrando da relação fundamental:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Fazemos

x - 1 3 = cos ⁡ t               e                 y - 1 2 = s e n   t

Assim,

x t = 1 + 3 cos ⁡ t

y t = 1 + 2   s e n   t

Como γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t , achamos que

a = 1 ,             b = 3 ,                 c = 1                     e                   d = 2

Assim,

a + b c + d = 1 + 3 1 + 2 = 1 + 3 3

Portanto, a resposta está na alternativa A 😉

Resposta

Alternativa A.

Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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