Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f(x, y) = x^2 + 2y^2 e g(x, y) = 5 - 2*x^2 - 2*y^2 + 6*x + 8*y , em que (x, y) ∈ R^2 , é dada por

γ(t) = a + b * cos(t), c + d * sen(t), z(t), t ∈ [0, 2π]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, (a + b) / (c + d) é igual a

a) 3 / (1 + raiz(3)) .

b) (1 + raiz(3)) / 3 .

c) 3 / (2 + raiz(6)) .

d) (2 + raiz(6)) / 3 .

e) 3 / (2 + raiz(3)) .

Passo 1

Fala galerinha, bora fazer mais um problema?

Nesse exercício forneceram para gente duas funções f e g cujos gráficos são superfícies. A intersecção dessas superfícies é uma curva γ t = x t ,   y t ,   z t do tipo

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Queremos achar as constante a , b , c e d .

Temos que

f x ,   y = x 2 + 2 y 2

g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 6 x + 8 y

Para achar a intersecção das superfícies, igualamos:

f x ,   y = g ( x ,   y )

Assim,

x 2 + 2 y 2 = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 6 x + 8 y

Portanto,

3 x 2 - 6 x + 4 y 2 - 8 y = 5

Passo 2

Precisamos completar quadrados:

3 x 2 - 6 x = 3 x 2 - 2 x + 1 - 1 = 3 x - 1 2 - 3

4 y 2 - 8 y = 4 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 4 y - 1 2 - 4

Portanto,

3 x 2 - 6 x + 4 y 2 - 8 y = 5 ⇒ 3 x - 1 2 - 3 + 4 y - 1 2 - 4 = 5

Assim,

3 x - 1 2 + 4 y - 1 2 = 12

Dividindo ambos os lados por 12 :

x - 1 2 4 + y - 1 2 3 = 1

Ou ainda,

x - 1 2 2 + y - 1 3 2 = 1

Passo 3

Lembrando da relação fundamental:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Fazemos

x - 1 2 = cos ⁡ t               e                 y - 1 3 = s e n   t

Assim,

x t = 1 + 2 cos ⁡ t

y t = 1 + 3   s e n   t

Como γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t , achamos que

a = 1 ,             b = 2 ,                 c = 1                     e                   d = 3

Assim,

a + b c + d = 1 + 2 1 + 3 = 3 1 + 3

Portanto, a resposta está na alternativa A 😉

Resposta

Alternativa A.

Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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