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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 2e

Dê uma parametrização para a curva dada pela interseção das seguintes superfícies:

  1. x 2   +   y 2   +   z 2   =   8   −   2 x   −   2 y ,   z   ≥   0   e   x   +   y   =   2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização das interseções. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar a parametrização de uma curva gerada por uma interseção. Para fazermos isso, primeiro descobrimos a interseção das curvas, e depois parametrizamos, podemos parametrizar e depois calcular as interseções. Vamos nessa!

Passo 2

Queremos as interseções de x 2   +   y 2   +   z 2   =   8   −   2 x   −   2 y ,   z   ≥   0   e   x   +   y   =   2

Ou seja, queremos os pontos ( x , y , z ) que satisfazem as equações

Temos que

,   z   ≥   0

x 2   +   y 2   +   z 2   =   8   −   2 x   −   2 y

  x   +   y   =   2

Como podemos fazer essa interseção? Vamos começar reescrevendo a primeira equação

x 2   +   y 2   +   z 2   =   8   −   2 x   −   2 y

⇒ ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z 2 = 10

Agora da segunda equação, temos:

  x   +   y   =   2

⇒ y = 2 - x

Substituindo, obtemos que

( x + 1 ) 2 + ( - x + 3 ) 2 + z 2 = 10

⇒ x 2 + 2 x + 1 + x 2 - 6 x + 9 + z 2 = 10

Logo

z = - 2 x 2 + 4 x

Mas precisamos que - 2 x 2 + 4 x ,   e   q u e   s e j a   b e m   d e f i n i d a .   E n t ã o   p r e c i s a m o s   q u e  

- 2 x 2 + 4 x ≥ 0

⇒ 0 ≤ x ≤ 2

Passo 3

Ou seja, chegamos a conclusão que a nossa interseção é

y = 2 - x

z = - 2 x 2 + 4 x com 0 ≤ x ≤ 2

Logo, fazendo x = t a parametrização será

( t , 2 - t ,   - 2 x 2 + 4 x )   c o m   0 ≤ t ≤ 2

Lembrem, uma curva pode ser parametrizada de várias formas distintas

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( t , 2 - t ,   - 2 x 2 + 4 x )   c o m   0 ≤ t ≤ 2

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