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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Exercício 81234567910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849

Enunciado

A interseção entre os planos

4 x + 3 y - z = 0

x + 2 y + z = 5

É (para t ∈ R ):

  1. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0,0 , 1 + t ( 5,4 , 3 )
  2. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0 , 1,0 + t ( 1 , - 1,1 )
  3. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0,1 , 3 + t ( 1 , - 1,1 )
  4. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = ( 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t , 1 )
  5. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 1 , t 2 , t

Passo 1

Primeiro devemos isolar alguma variável em alguma das superfícies, vamos pegar o z da primeira superfície

4 x + 3 y - z = 0 ⇒ z = 4 x + 3 y

Substituindo na equação da S 2

x + 2 y + z = 5

x + 2 y + ( 4 x + 3 y ) = 5

5 x + 5 y = 5

x + y = 1

Passo 2

Se isolarmos o y , ficamos com uma função explicita.

y = - x + 1

Assim, podemos fazer

x t = t

Pela equação que achamos

y t = - x t + 1 = - t + 1

Passo 3

Agora voltando para o z

z t = 4 x ( t ) + 3 y ( t )

z t = 4 t + 3 ( - t + 1 )

z t = t + 3

A parametrização da curva de interseção é

σ t = t ,   - t + 1 , t + 3

Ou, desmembrando isso:

σ t = 0,1 , 3 + t ( 1 , - 1,1 )

Que, pasmem, é o que diz a letra c

Resposta

L e t r a   c

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