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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Interseção de superfícies

Seja a quádrica cuja equação cartesiana é dada por 2 x 2 + y 2 + 2 y + z 2 = 9 .

Encontre uma parametrização para a curva C que corresponde à interseção da quádrica com o plano y + z = 1 .

Passo 1

Identificar equações das duas superfícies:

A equação da quádrica tem termos y 2 e y . Portanto, precisamos completar quadrados:

y 2 + 2 y + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = y 2 2 a b = 2 y b 2 = b 2

Resolvendo o sistema, encontramos que:

a = y   b = 1

Voltando à equação da quádrica e somando b 2 = 1 nos dois lados:

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 ⏟ y + 1 2 + z 2 = 9 + 1

⇒ 2 x 2 + y + 1 2 + z 2 = 10

Dividindo tudo por 10 :

x 2 5 + y + 1 2 10 + z 2 10 = 1

Logo, essa quádrica é um elipsoide com centro em ( 0 ,   - 1 ,   0 ) .

Portanto as equações das superfícies são essas:

x 2 5 + y + 1 2 10 + z 2 10 = 1   y + z = 1

Passo 2

Isolar uma variável de umas das equações:

Pela equação do plano temos que:

z = - y + 1

Passo 3

Substituir essa variável na outra equação:

x 2 5 + y + 1 2 10 + z 2 10 = 1

⇒ x 2 5 + y + 1 2 10 + - y + 1 2 10 = 1

x 2 5 + 1 10 2 y 2 + 2 = 1

x 2 5 + y 2 5 = 4 5

x 2 + y 2 = 4

Essa é a projeção da curva no plano z = 0 : um círculo de raio 2 .

Passo 4

Parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis:

x 2 + y 2 = 4

Então, usaremos a parametrização do círculo:

x t = r cos ⁡ t + x 0

y t = r sen ⁡ t + y 0

t ∈ [ 0,2 π ]

Onde r 2 = 4 ⇒ r = 2 e x 0 = y 0 = 0

Logo:

x t = 2 cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t

Passo 5

Substituir essas parametrizações na terceira variável que foi isolada:

z = - y + 1

Substituindo y ( t ) :

z t = - 2 sen ⁡ t + 1

Pronto! Agora temos todas as coordenadas da parametrização da curva C .

Passo 6

σ t = x t ,   y t ,   z t

Substituindo:

σ t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t ,   - 2 sen ⁡ t + 1

Resposta

σ t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t ,   - 2 sen ⁡ t + 1

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

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