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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão discursiva 2b

Considere a superfície S definida por:

z = x 2 + y 2 - 3

  1. Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção de S com o plano 2 y + z = 0

Passo 1

b) Ele quer a interseção da superfície:

z = x 2 + y 2 - 3

Com o plano:

2 y + z = 0

Da segunda equação, temos:

z = - 2 y

Substituindo na primeira:

- 2 y = x 2 + y 2 - 3

Ajeitando isso, completando os quadrados, temos :

x 2 + y + 1 2 - 1 - 3 = 0

x 2 + y + 1 2 = 4

x 2 4 + y + 1 2 4 = 1

Passo 2

Podemos usar a parametrização da elipse. Vai ficar:

x = 2 cos ⁡ θ ; y = 2 s e n θ - 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Lembrando que

z = - 2 y = - 4 s e n θ + 2

Então a parametrização fica:

x = 2 cos ⁡ θ ; y = 2 s e n θ - 1 ; z = - 4 s e n θ + 2       0 ≤ θ ≤ 2 π

Ou na forma vetorial:

r → θ = 2 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n θ - 1 j ^ + - 4 s e n θ + 2 k ^   ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Resposta

b) r → θ = 2 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n θ - 1 j ^ + - 4 s e n θ + 2 k ^   ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

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