Parametrização de curvas
Considere as superfícies
- Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.
- Exiba uma parametrização da curva espacial na forma
Explicitando , , , e .
Passo 1
Vamos começar pela superfície .
Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função , que é a função da superfície jogando tudo para esquerda.
O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função
Passo 2
O gradiente vai ser
O vetor normal vai ser
Passo 3
Vamos para a superfície .
Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função , que é a função da superfície jogando tudo para esquerda.
O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função
Passo 4
O gradiente vai ser
O vetor normal vai ser
Passo 5
A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície não tem o valor de , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é uma elipse
Lembra como é a parametrização da elipse?
Então, para esse caso
Como ele faz a volta completa
Mas e agora como parametrizamos o valor de ? Vamos usar a outra equação.
Passo 6
Primeiro temos que isolar o na segunda superfícies
Ok, agora temos uma expressão de dependendo só de e , o que temos que fazer agora é trocar os valores de e da parametrização que fizemos ali em cima.
Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.
A parametrização vai ficar
Com
Resposta
- e
Com