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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.2, questão discursiva 2b

Considere as superfícies:

S 1 : z = 9 - x 2 - y 2

S 2 :   x 2 4 + y 2 - 2 y = 0

  1. Determine uma parametrização para a curva γ de interseção ente as superfícies S 1 e S 2 .

Passo 1

b) Podemos escrever S 2 da seguinte forma: S 2 :   x 2 4 + y - 1 2 = 1

Podemos usar a parametrização da elipse. Vai ficar:

x = 2 cos ⁡ θ ; y = s e n θ + 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Como é uma interseção, o que acabamos de achar para x , y deve valer também na superfícis S 1 . Substituindo:

z = 9 - x 2 - y 2

z = 9 - 2 cos ⁡ θ 2 - s e n θ + 1 2

Então:

z = 9 - 4 cos ⁡ θ 2 - s e n θ + 1 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo, a parametrização apara a curva de interseção γ é:

γ θ = 2 cos ⁡ θ ,   s e n θ + 1,9 - 4 cos ⁡ θ 2 - s e n θ + 1 2   ,   0 ≤ θ ≤ 2 π  

Resposta

b) γ θ = 2 cos ⁡ θ ,   s e n θ + 1,9 - 4 cos ⁡ θ 2 - s e n θ + 1 2   ,   0 ≤ θ ≤ 2 π  

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