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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Exercício 33123456789101112131415161718192021222324252627282930313234353637383940414243444546474849

Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 3a

C a l c u l e   ∫ f ( x ,   y ,   z )   d s ,   o n d e

f ( x ,   y ,   z )   =   3 x 2 y z     e     r ( t )   =   ( t ,   t 2 , 2 / 3   t 3 ) ,   0   ≤   t   ≤   1 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com parametrização de interseções e integrais de linha. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

sobre uma curva r ( t ) Como fazemos isso? É bem simples, precisamos da parametrização da nossa curva, e fazemos a seguinte substituição

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Show? Então vamos calcular

Passo 2

Queremos

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s

com

f ( x ,   y ,   z )   =   3 x 2 y z     e     r ( t )   =   ( t ,   t 2 , 2 / 3   t 3 ) ,   0   ≤   t   ≤   1 .

Vamos calcular

∫ f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t

Como r ( t )   =   ( t ,   t 2 , 2 / 3   t 3 ) , então

| r ' ( t ) | = 1 + 4 t 2 + 4 t 4

= ( 2 t 2 + 1 )

Então como f ( x ,   y ,   z )   =   3 x 2 y z  

∫ f ( r ( t ) ) | r ' ( t ) |   d t = ∫ 0 1 2 t 2 t 2 t 3 ( 2 t 2 + 1 ) d t

= ∫ 0 1 4 t 9 + 2 t 7 d t

Integrando temos:

4 / 10 * t 10 + 2 / 8 t 8   | t = 1 t = 0 = 4 / 10   + 2 / 8

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

4 / 10   + 2 / 8

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