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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 6b

Calcule

∫ r   x d x   +   x 2 d y

d e   ( − 1 ,   0 )   a   ( 1 ,   0 ) ,

d e   r ( t )   =   ( −   c o s t ,   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   π .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!!

Nosso objetivo nessa questão é calcular a integral

∫ r   x d x   +   x 2 d y

d e   r ( t )   =   ( −   c o s t ,   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   π .

ao longo do eixo x

Como fazemos isso? É bem simples, primeiro pegamos a nossa parametrização da curva, e usamos ela para podermos calcular d x   e   d y em função da parametrização escolhida. Depois substituímos na integral e pronto.

Então vamos nessa!!!

Passo 2

  r ( t )   =   ( −   c o s t ,   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   π .

Bem, pela parametrização da nossa curva, temos:

x = - c o s t

y = s i n t

⇒ d x   =   s i n t   d t

d y = c o s t   d t

Passo 3

Agora, podemos calcular a nossa integral de interesse

∫ r   x d x   +   x 2 d y

fazendo as substituições,

∫ r   x d x   +   x 2 d y =   ∫ 0 π   - c o s t * s i n t + c o s 3 t   d t

E agora? Como integramos isso? Bem,

c o s 3 t = - c o s 3 ( �� - t ) . com 0 ≤ t ≤ π / 2

Logo, esse termo irá integrar zero no intervalo [ 0 , π ] . Dessa forma, só precisamos analisar

∫ 0 π   - c o s t * s i n t   d t

= - c o s 2 t / 2   | t = 0 t = π

= 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

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