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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2014.1, M.E. 7

Considere a curva C como a interseção do plano y = 2 , com o paraboloide y = x 2 + z 2 . Uma parametrização da curva C é:

a) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

b) 2 ,   2 cos ⁡ t ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

c) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0 , π

d)   2 s e n t ,   2 s e n t , 2 ,   t   ∈ 0,2 π

e) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

Passo 1

A curva C de interseção tem de satisfazer as duas equações:

y = 2

y = x 2 + z 2

Substituindo a primeira na segunda, temos:

x 2 + z 2 = 2

Passo 2

Agora, vamos parametrizar essa equação:

x 2 + z 2 = 2

Usaremos a parametrização da circunferência,vai ficar:

x = 2 cos ⁡ t ; z = 2 s e n t ; 0 ≤ t ≤ 2 π

Então a curva C é dada por:

2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

Resposta

a) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

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