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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Seja C a curva que é interseção das 2 superficies de equações

4 x 2 + y 2 = 2 y

E

x - y + z = 1

Então uma parametrização de C , para t ∈ [ 0,2 π ] é:

  1. r t = 1 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1,2 - 1 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  2. r t = 1 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t - 1,2 - 1 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  3. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1,2 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  4. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1 , - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  5. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t - 1 , - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t

Passo 1

Temos as equações:

4 x 2 + y 2 = 2 y  

x - y + z = 1

Na primeira equação, podemos completar quadrados e escrevê-la da seguinte forma:   4 x 2 + y - 1 2 = 1

Que também pode ser escrito dessa forma:

x 2 1 4 + y - 1 2 = 1

Que é uma elipse e isso a gente sabe parametrizar. Vai ficar:

x ( t ) = 1 2 cos ⁡ t

y t = s e n t + 1

  0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Como é uma interseção, o que acabamos de achar para x , y deve valer também para a outra superfície. Substituindo:

x - y + z = 1

1 2 cos ⁡ t - s e n t + 1 + z = 1

Então:

z = - 1 2 cos ⁡ t + s e n t + 2 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Logo, a parametrização apara a curva de interseção γ é:

r θ = 1 2 cos ⁡ t ,   s e n θ + 1 , - 1 2 cos ⁡ t + s e n t + 2   ,   0 ≤ θ ≤ 2 π  

Resposta

L e t r a   a

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