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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 5.

A interseção dos 2 planos de equações

x + y + z = 1

E

- x - y + z = 1

É a reta parametrizada por:

  1.   r t = t , - t , 1 ,   t ∈ R
  2.   r t = 2 t , - 2 t , 1 + t ,   t ∈ R
  3.   r t = - t , - t , 1 + t ,   t ∈ R
  4.   r t = t , t , 1 + t ,   t ∈ R

Passo 1

Vamos isolar o z na segunda equação:

z = x + y + 1

Agora podemos substituí-lo na primeira equação:

x + y + ( x + y + 1 ) = 1

2 x + 2 y = 0

y = - x

Passo 2

Ok, agora vamos parametrizar essa reta.

Podemos escolher a parametrização natural de x :

x t = t

Logo:

y t = - t

Passo 3

Por fim, substituimos essas parametrizações na terceira variável que foi isolada

z = x + y + 1

⇒ z t = t - t + 1 = 1

Então a reta r ( t ) resultante da interseção dos dois planos pode ser expressa da seguinte forma:

σ t = x t ,   y t ,   z t

⇒ σ t = t , -   t ,   1 ,     t ∈ R

Resposta

L e t r a   a

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