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Exercícios Resolvidos de Parametrização da Interseção de Superfícies

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Enunciado

Interseção de superfícies

S 1 :     2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1 e S 2 :   z = x 2 + y 2

Parametrize a curva γ de interseção de S 1 com S 2 .

Passo 1

Identificar equações das duas superfícies:

As equações já estão no formato certo (sem ter que completar quadrados). Portanto, as equações das superfícies são essas:

2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1   z = x 2 + y 2

Passo 2

Isolar uma variável de umas das equações:

Na segunda equação, já temos a variável z isolada. Vamos utilizá-la:

z = x 2 + y 2

Passo 3

Substituir essa variável na outra equação:

2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1

⇒ 2 x 2 + 3 y 2 - x 2 + y 2 2 = 1

2 x 2 + 3 y 2 - x 2 + y 2 = 1

x 2 + 2 y 2 = 1

x 2 1 + y 2 1 2 = 1

Essa é a projeção da curva no plano z = 0 : uma elipse.

Passo 4

Parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis:

x 2 1 + y 2 1 2 = 1

Então, usaremos a parametrização da elipse:

x t = a cos ⁡ t + x 0

y t = b sen ⁡ t + y 0

t ∈ [ 0,2 π ]

Onde a 2 = 1 ; b 2 = 1 2 ; x 0 = y 0 = 0

Logo: a = 1 e b = 1 2

Logo:

x t = cos ⁡ t

y t = 1 2 sen ⁡ t

Passo 5

Substituir essas parametrizações na terceira variável que foi isolada:

z = x 2 + y 2

⇒ z t = cos 2 ⁡ t + 1 2 sen 2 ⁡ t

⇒ z t = 1 2 cos 2 ⁡ t + 1 2 cos 2 ⁡ t + 1 2 sen 2 ⁡ t ⏟ 1 2

⇒ z t = 1 2 ( cos 2 ⁡ t + 1 )  

Pronto! Agora temos todas as coordenadas da parametrização da curva C

Passo 6

σ t = x t ,   y t ,   z t

Substituindo:

σ t = cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t ,   1 2 ( cos 2 ⁡ t + 1 )  

Resposta

σ t = cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t ,   1 2 ( cos 2 ⁡ t + 1 )  

t ∈ [ 0,2 π ]

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